1-x的平方分之一的积分

这个问题可以通过计算积分来解决。积分表达式为：
∫(1-x)²⁻¹ dx
首先对表达式(1-x)²⁻¹进行展开，由于1-x可以写作(1-x)²的平方根，有：
(1-x)² = 1
2x + x²
所以，1-x的平方分之一可以写为：
(1-x)²⁻¹ = x
1
然后积分：
∫(x
1) dx
对上述积分逐项积分得：
∫x dx
∫1 dx = (1/2)x²
x + C
其中C是积分常数。所以，1-x的平方分之一的积分结果是：
(1/2)x²
x + C

要计算的是函数$f(x) = \frac{1}{1-x^2}$的积分。
首先，我们注意到分母$1-x^2$可以分解为$(1+x)(1-x)$，因此我们可以将原函数重写为：
$$f(x) = \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1+x)(1-x)}.$$
接下来，我们使用部分分式分解来简化这个表达式。设：
$$\frac{1}{(1+x)(1-x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-x},$$
我们需要找到$A$和$B$的值，使得上述等式成立。通过通分，我们得到：
$$1 = A(1-x) + B(1+x),$$
展开并整理得：
$$1 = (A-B)x + A,$$
比较系数，我们得到：
$$A
B = 0 \quad \text{和} \quad A = 1,$$
解得：
$$A = 1, \quad B = 1.$$
因此，我们有：
$$\frac{1}{(1+x)(1-x)} = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}.$$
现在，我们可以计算积分：
$$\int \frac{1}{1-x^2} \, dx = \int \left(\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x}\right) \, dx.$$
分别计算两个积分：
$$\int \frac{1}{1+x} \,

\( \int \frac{1}{x^2} \, dx \) 的积分结果是 \( -\frac{1}{x} + C \)，其中 \( C \) 是积分常数。这是基本的积分公式之一。